Оценка состояния объекта измерения со взаимосвязанными параметрами

доктор технических наук, заслуженный деятель науки РФ,
профессор Темнов В.Н.

В современной научно-технической литературе часто используется термин “состояние”. О состоянии говорят при анализе сложных технических систем, при оценке работоспособности объекта диагностирования, при измерениях совокупности физических величин в целях обеспечения экологической безопасности, при борьбе за живучесть и т.д. При этом трактовка термина часто произвольная. Следуя [1] , условимся, что состояние объекта определяется совокупностью значений характерных для него физических величин. В пространстве параметров состояние объекта определяется точкой, координатами которой являются значения параметров. Если параметры взаимосвязаны, то точка характеризующая состояние находится не в любой области этого пространства, а лишь в той его части, которая удовлетворяет условиям взаимосвязи. Этот факт значительно сужает область возможных состояний объекта и значительно уменьшает неопределенность в его оценке.

В целях иллюстрации на рис. 1 показано пространство трех параметров состояния объекта. Взаимосвязь физических величин, характеризующих состояние, определяется двумя линейными уравнениями, которые на рисунке определены плоскостями Q и S . С учетом этой взаимосвязи точка M , отражающая состояние объекта, должна находиться на линии NК пересечения плоскостей, а не любой области параметров состояния х₁ , х₂ , х₃.

Принимая во внимание, что оценка состояния производится по результатам измерений и несет в себе некоторую неопределенность, появляется необходимость установить ее. Общепринятой мерой неопределенности при измерениях является погрешность. Найдем погрешность оценки состояния .

Исходя из взаимосвязи между параметрами состояния близлежащая точка оценки состояния должна находиться на одной поверхности с точкой истинного состояния. Эта поверхность удовлетворяет условиям взаимосвязи.

На рис. 1 эта поверхность имеет вид прямой NК, истинное состояние отражается точкой M *, а оценка состояния по результатам измерений – точкой M . Расстояние size="4" face="Symbol">D size="4" S между этими точками по линия NК характеризует погрешность оценки состояния.

Рис.1

В общем случае расстояние между двумя близко стоящими точками на поверхности определяется первой квадратичной формой [2] size="4" . Пусть состояние объекта измерения характеризуется n= m+ h параметрами:

х₁ size="4" , х₂ , ..., х_m , – параметры непосредственного измерения;

y₁, y₂, ..., y_h size="4" , – параметры, оцениваемые косвенным путем.

Уравнения взаимосвязи между этими параметрами могут иметь вид:

F size="4" ( х₁ , ..., х_m, y₁,..., y_h) = 0 (1)

или

y₁ = size="4" face="Symbol">j ₁ ( х₁ , х₂ , ..., х_m)

y₂ = size="4" face="Symbol">j ₂ ( х₁ , х₂ , ..., х_m) (2)

. . . . . . . . . . . .

y_h = size="4" face="Symbol">j _h ( х₁ , х₂ , ..., х_m)

Тогда первая квадратичная форма, определяющая расстояние между двумя близлежащими точками имеет вид

, (3)

где – компоненты метрического тензора.

При известных соотношениях (2) компоненты метрического тензора в общем виде находятся из выражения [2]

Имея численную оценку расстояния между двумя близлежащими точками, можно найти выражение для погрешности оценки состояния, пользуясь приемом принятым в метрологии [3] . Вывод этого выражения приведен в [4]. В окончательном виде погрешность оценки состояния объекта со взаимосвязанными параметрами по результатам непосредственного измерения равна

(4)

.

Заметим, что известное в метрологии [3] size="4" выражение для оценки погрешности косвенного измерения имеет вид:

, (5)

где y- параметр, оцениваемый косвенным путем.

Выражения (4) и (5) имеют не только внешнюю схожесть, но и глубокую внутреннюю связь, из которой следует, что известная формула (5) является частным случаем более общего выражения (4). Если развернуть выражение (4) по всем индексам и после этого воспользоваться выражением (5), то получим, что квадрат погрешности оценки состояния равен сумме квадратов погрешностей прямого и косвенного измерения:

(6)

При оценке погрешности состояния зачастую исследователи используют только первую часть выражения (6), т.е. только погрешность прямого измерения. В то время как это правомерно лишь в том случае, когда все n параметров состояния независимы. Тогда, как следствие, из выражения (4) следует:

.

В выражение (4) как и в выражение (5) входит коэффициент корреляции погрешностей прямого измерения. Нахождение этого коэффициента вызывает большие трудности. Поэтому его значения обычно в метрологии [5] находят из качественного анализа. Если зависимость между погрешностями не очевидна, то принимают r_ik = 0 и выражение для погрешности оценки состояния принимает вид:

.

Если между погрешностями прямого измерения связь существует (например, приборы прямого измерения имеют общий источник питания и его характеристики меняются), то принимают r_ik = 1 и выражение для погрешности оценки состояния принимает вид:

.

Заметим, что в случае когда параметры состояния являются неоднородными физическими величинами, вычисления погрешности необходимо производить в относительных единицах.

Таким образом, для оценки состояния объекта необходимо определить точку, координатами которой являются значения параметров состояния, и область вокруг нее, определяемую погрешностью (4).

Погрешность оценки состояния является мерой точности измерений, ее можно использовать для сравнения качества предыдущих и последующих измерений, а также для выбора более точного способа оценки состояния, если существует несколько способов измерений параметров состояния. Задачу выбора оптимального способа измерения можно формализовать [4] .

Пусть имеется несколько способов измерения параметров состояния, отличающихся набором параметров прямого и косвенного измерения. Возьмем в качестве функционала выражение (4), а в качестве ограничений стоимостные или массогабаритные или надежностные показатели используемых приборов в зависимости от точности измерений. Тогда тот набор измеряемых параметров будет оптимальным, для которого погрешность оценки состояния является минимальной. При этом значения погрешностей прямого измерения, при которых достигается минимум, покажут, с какой точностью необходимо измерять тот или иной параметр.

Литература.

1. Политехнический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1989 г.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974 г.
3. Маликов М.Ф. Основы метрологии. М.: 1949 г.
4. Темнов В.Н. Оптимальное измерение вектора состояния детерминирован y ого объекта. Известия ВУЗ. Приборостроение № 1, 1987 г.
5. Новицкий П.Ф., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измере- ний. Л.: Энергоатомиздат, 1985 г.