Гринда
Форум        |       Ссылки
 

 

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЦЫ

УДК 681.51(075.8)

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРАБЛЯ НА ВОЗДУШНОЙ ПОДУШКЕ

А.Л.Стариченков ,
кнадидат технических наук, Институт проблем транспорта Российской академии наук

Предлагается метод определения области устойчивости горизонтального движения корабля на воздушной подушке (КВП), позволяющий в отличие от существующих, получать результаты не решая дифференциальные уравнения движения. Обоснована перспективность применения данного метода для определения возможности попадания КВП в аварийные ситуации, связанные с потерей устойчивости. Приведены результаты расчета критических значений кинематических параметров горизонтального движения КВП, полученные на основе использования полученной аналитической зависимости границы области устойчивости от коэффициентов математической модели рассматриваемого вида движения КВП.

Изучение фазового пространства во всем диапазоне изменения переменных состояния представляет собой полное и законченное решение общей нелинейной математической задачи анализа динамической системы. Применительно к морским подвижным объектам (МПО), в частности к КВП, эта задача, ограниченная возможными предельными значениями кинематических параметров, имеет существенное значение с точки зрения прогнозирования особенностей режимов движения, включая аварийные ситуации, связанные с потерей устойчивости.

Одной из наиболее сложных задач исследования фазового пространства нелинейных динамических систем, описывающих поведение МПО, является задача определения области устойчивых движений, поскольку данный процесс требует, как правило, многократного расчета набора существенно нелинейных фазовых траекторий. Однако, если удается аналитически задать границу области устойчивости нелинейной динамической системы, то техническая задача предотвращения аварий МПО сводится к математической задаче предотвращения выхода прогнозируемого положения изображающей точки в фазовом пространстве за пределы области устойчивости.

Изучение аварий КВП [1] показало, что аварийная ситуация начинается с увеличения угла рыскания ( j ) и скорости рыскания ( w y ) и сопровождается нарастанием угла дрейфа ( b ). Этот процесс характерен для нарушения устойчивого движения в горизонтальной плоскости. На последующих стадиях развития аварий наблюдается рост крена ( q ) и дифферента ( y ), которые приводят к опрокидыванию. Поэтому повышение безопасности КВП требует увеличения запаса устойчивости движения, прежде всего, в горизонтальной плоскости. Вследствие чего, построение границы области устойчивости рассматривается именно на примере горизонтального движения КВП.

Анализ фазового портрета КВП, проведенный на основе использования обобщенной математической модели МПО [2] при отсутствии управляющих и возмущающих воздействий в системе, в плоскости параметров состояния ( w y, b ) , показал, что фазовый портрет горизонтального движения КВП содержит три точки равновесия, одна из которых - устойчивая (типа “устойчивый фокус”) - расположена в начале координат между двумя остальными неустойчивыми особыми точками типа “седло” (рис.1). Область устойчивого неуправляемого движения корабля находится, таким образом, в ограниченной области изменения угла дрейфа b (x2 ) и скорости рыскания w y (x1).


Рис.1.Фазовый портрет горизонтального движения КВП

Поскольку с математической точки зрения нас интересует не отдельно взятые значения управляющего и возмущающего воздействий, а результат их взаимного действия, т.е. алгебраическая сумма данных воздействий, то представляется целесообразным ввести понятие эквивалентного внешнего возмущения , которое, согласно обобщенной математической модели МПО [2] , определим как :

,

где B - матрица коэффициентов управляющих воздействий, w - матрица возмущающих воздействий, которые создает на корпусе КВП ветро-волновой процесс.

Тогда, рассматриваемая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая движение КВП в горизонтальной плоскости запишется в следующем виде:

, (1)

где , , а значения коэффициентов определялись равными соответствующим значениям из таблицы 1.

Таблица 1. Коэффициенты математической модели горизонтального движения КВП

Обозначения

Численные значения

a11

-0.011

a21

1.0

a22

-0.057

b11

0.011

b21

0.009

a1

-0.04

a2

-0.005

a3

0.246

Поскольку величина

то по критерию Бендиксона [3] система (1) не имеет предельных циклов и не имеет замкнутых контуров, составленных из ее траекторий. Таким образом, система (1) не может иметь одновременно две сепаратрисы, идущие из одной неустойчивой точки во вторую и из второй в первую.

Область притяжения “устойчивого фокуса” системы (1) будем оценивать с помощью положительно-определенной квадратичной функции Ляпунова, вида :

(2)

Тогда, выражение для производная функции V в силу системы линейного приближения в окрестности устойчивой точки балансировочного режима запишется в следующем виде :

(3)

Положительная постоянная A выбирается таким образом, чтобы производная функции Ляпунова (3) была бы отрицательно определенной.

Задача ставится следующим образом :

Найти максимально возможное положительное число C >0 такое, чтобы на линиях (эллипсах)

(4)

производная функции Ляпунова (3) была бы строго отрицательной.

Решая поставленную задачу, приходим к следующему выводу:

граница области притяжения особой точки типа “устойчивый фокус” (область устойчивых движений системы (1) ) содержит внутри себя эллипс (4), оси которого определяются через параметры математической модели (1) рассматриваемого горизонтального движения КВП следующим образом :

; (5)

; ,

Полученное выражение для области устойчивых движений КВП в горизонтальной плоскости (5 ) является функцией от коэффициентов математической модели объекта (1). Данный факт имеет большое значение с точки зрения простоты и наглядности построения областей устойчивых движений КВП. Другими словами, предлагаемый метод эллиптической аппроксимации области устойчивых движений обладает несомненным преимуществом, поскольку позволяет в ускоренном масштабе времени, не решая дифференциальные уравнения движения, определять на борту область устойчивости рассматриваемого МПО.

Убедиться в правильности полученных выражений для определения границы области устойчивых движений рассматриваемого объекта можно проанализировав рисунки 2 - 4 , на которых изображены области устойчивых движений КВП в горизонтальной плоскости , построенные с использованием выражений (5 ) для трех значений эквивалентного внешнего возмущения.


Рис.2.Фазовый портрет и граница области устойчивости горизонтального движения КВП при эквивалентном внешнем возмущении

Рис.3.Фазовый портрет и граница области устойчивости горизонтального движения КВП при эквивалентном внешнем возмущении


Рис.4.Фазовый портрет и граница области устойчивости горизонтального движения КВП при эквивалентном внешнем возмущении

Действительно, все движения рассматриваемой системы (1 ), описывающей горизонтальное движение КВП в плоскости параметров состояния , начинающиеся внутри эллипса носят устойчивый характер. Небольшие отклонения за границу области устойчивости приводят к возникновению неустойчивых движений в рассматриваемой системе, тем самым подтверждая правильность проведенных расчетов и правомерность аппроксимации данной области эллипсом (5). Значения и на рисунках 2 - 4 соответствуют нормированным значениям переменных состояния соответственно x2( b ) и x1( w y).

Полученная аналитическая зависимость границы области устойчивости от коэффициентов математической модели горизонтального движения КВП прежде всего может быть использована для определения возможности потери устойчивости рассматриваемой нелинейной динамической системы. Если аппроксимировать область устойчивых движений (область притяжения особой точки типа “устойчивый фокус”) эллипсом (5), то процесс перехода системы из более устойчивого состояния в менее устойчивое будет сопровождаться уменьшением области устойчивости, т.е. уменьшением площади данного эллипса. И в момент перехода системы из устойчивого в неустойчивое состояние, мы будем наблюдать эффект “исчезновения” данного эллипса. Факт наступления данного эффекта будет однозначно свидетельствовать о наличии аварийной ситуации для рассматриваемого МПО. Математически данный эффект эквивалентен ситуации, когда значение параметра C эллипса (5) становится слишком малым, приближаясь к нулю, т.е. практически при C ?1*10-3 данный эллипс становится неразличимым. Если подставить в выражение (5) значения , то :

при =0.1 C=0.034;

при =0.3 C=0.02;

при =0.55 C=0.005;

при =0.6 C=0.0002 » 0;

Данный процесс “исчезновения” области устойчивости при изменении значений эквивалентного внешнего возмущения от =-0.6 до =0.6 наглядно иллюстрирует рис.5.


Рис.5. Изменения области устойчивости горизонтального движения КВП при =-0.6 size="2" ? 0.6

При = ± 0.6 наблюдается описанный выше эффект “исчезновения” эллипса, определяющего границу области устойчивых движений рассматриваемого МПО, поэтому самые “малые” эллипсы на рис.5 соответствуют случаю = ± 0.55.

Изменение границы области устойчивости, изображенное на рисунке 5, построено для нормированных значений переменных состояния, т.е. в плоскости параметров ( ). Однако, зная нормированные значения , и значение нормирующей частоты W =V0r /m, где m - масса корабля, r - плотность воды, можно определить реальные значения w y , b для различных скоростей хода V0 и значений эквивалентного внешнего возмущения . Кроме того, используя аналитическое выражение (5) мы можем не решая систему нелинейных дифференциальных уравнений движения рассматриваемого КВП определить область устойчивости объекта для различных режимов его движения. Осуществив построение данной области в плоскости параметров состояния рассматриваемого МПО, мы тем самым достаточно просто можем определить критические значения кинематических параметров для различных режимов движения КВП. Приведенные рисунки 6 и 7 наглядно иллюстрируют процесс моделирования различных режимов горизонтального движения КВП, отображая процесс деформации области устойчивости для случая изменения скорости движения V0=5 ? 30 м/ с и изменения значений эквивалентного внешнего возмущения =-0.4 ? 0.4, представляя тем самым характер поведения исследуемого КВП. Определенные с использованием данных рисунков критические значения кинематических параметров горизонтального движения КВП для различных значений скорости хода V0 и значений эквивалентного внешнего возмущения , представлены в таблицах 2 и 3.

а) =0, V0 =10 м/ с

б) =0, V0 =30 м/ с


Рис.6.Фазовые портреты и изменение границы области устойчивости горизонтального движения КВП при =0 и изменении скорости движения V0 от 5 до 30 м/с

Таблица 2. Изменение предельных значений параметров горизонтального движения КВП при V0=10-30 м/с и =0

Значение V0 , м/ с

10

15

20

25

30

Предельное значение w y , рад/ с

0.212

0.293

0.369

0.432

0.475

Предельное значение , b рад

1.103

0.979

0.858

0.734

0.613

а) =0, V0 =30 м/ с

б) =0.2, V0 =30 м/ с

 


Рис.7.Фазовые портреты и изменение границы области устойчивости горизонтального движения КВП при скорости хода V0=30 м/с и изменении значений эквивалентного внешнего возмущения от -0.4 до 0.4

Таблица 3. Изменение предельных значений параметров горизонтального движения КВП при =0-0.4 и V0=30 м/с

Значение

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Предельное значение w y , рад/ с

0.475

0.421

0.368

0.342

0.316

Предельное значение , b рад

0.613

0.578

0.533

0.467

0.406

Анализ рисунков 6 и 7, а также таблиц 2 и 3 позволяет сделать вывод об уменьшении области устойчивых движений и сужении диапазона изменения кинематических параметров горизонтального движения КВП при увеличении скорости движения и значений эквивалентного внешнего возмущения. Другими словами, чем больше скорость движения и значение тем меньше критическое значение угла дрейфа b . Если при движении в одном из рассмотренных режимов значение угла дрейфа становится больше его допустимого (критического) значения, то изображающая точка, характеризующая положение КВП, выходит за границу области устойчивого движения рассматриваемого объекта, т.е. КВП переходит из устойчивого в неустойчивое положение, что означает для рассматриваемого объекта возникновение аварийной ситуации.

Таким образом, использование полученного аналитического выражения (5) позволяет строить области устойчивости горизонтального движения КВП, которые достаточно наглядно отображают процесс изменения режимов движения рассматриваемого МПО, а также позволяют определять критические значения параметров горизонтального движения КВП, характеризуя тем самым возможность попадания МПО в аварийную ситуацию, связанную с потерей устойчивости. Кроме того, одним из основных достоинств предлагаемого метода определения области устойчивых движений нелинейной динамической системы является возможность получать результаты не решая при этом дифференциальные уравнения движения рассматриваемого объекта, а пользуясь только полученным аналитическим выражением (5).

Литература:

  1. Короткин И.М. Аварии судов на воздушной подушке и подводных крыльях. - Л.: Судостроение, 1981. 216с.
  2. Лукомский Ю.А., Стариченков А.Л. Общие закономерности и специфические особенности в математических моделях морских подвижных объектов. СПб.: Гироскопия и навигация, №2(17) 1997. С.44 ? 52.
  3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 287с.

(С) А.Л.Стариченков, 2000 г. 


 
25 ноября 2017

суббота


Новости
16 марта 2007
cостоялся постоянно действующий научно-технический семинар "Системы обработки информации и управления".

Подробнее...
 





Замена стекол: замена стекла самсунг. Замена стекла на телефоне Samsung.

Copyright © 1998-2017 Входит в Центральный Военно-Морской Портал. Использование материалов портала разрешено только при условии указания источника: при публикации в Интернете необходимо размещение прямой гипертекстовой ссылки, не запрещенной к индексированию для хотя бы одной из поисковых систем: Google, Yandex; при публикации вне Интернета - указание адреса сайта. Вопросы и предложения. Создание сайта - компания ProLabs.
Рейтинг@Mail.ru